Relativité générale

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Relativité générale

Dans le cas d'un système de coordonnées en rotation uniforme, les forces centrifuges, selon Newton, sont dues à l'inertie. Mais ces forces centrifuges sont, comme la gravitation, proportionnelles à la masse des corps. La question qu'Einstein se pose à ce sujet est la suivante : « N'est-t-il pas possible de regarder le système de coordonnées comme étant au repos et les forces centrifuges comme gravitationnelles ? » Sa réponse est : « L'interprétation paraît évidente , mais la mécanique classique l'interdisant, cette brève esquisse suggère qu'une théorie de la relativité générale doit fournir les lois de la gravitation. »

En 1907, Einstein a l'idée, selon lui, « la plus heureuse de son existence », à savoir qu'un individu tombant du toit d'une maison ne ressentirait aucun champ gravitationnel. De même s'il se trouve dans une boîte en dehors de tout champ gravitationnel et qu'elle subisse une accélération identique à celle de la gravitation, il est alors incapable de savoir s'il se trouve sur terre ou subit une accélération.

Einstein propose le principe d'équivalence physique entre un champ gravitationnel et une accélération. Mais comme cette gravitation impose les trajectoires aux particules matérielles et aux rayons lumineux qui épousent les contours de la géométrie courbe, il comprend que la géométrie euclidienne ne peut pas être utilisée et que seules les mathématiques lui permettront d'avancer. Comme Lorentz, Einstein croit en un cadre de référence général qui ne doit privilégier aucun référentiel.

Thibault Damour, physicien théoricien, membre de l’Académie des sciences et professeur à l’Institut des hautes études scientifiques précise aujourd'hui : « Du principe d’équivalence découlera la théorie de la relativité générale selon laquelle la gravitation n’est plus une force qui s’exerce depuis un objet vers un autre, mais une déformation de la structure même de l’espace-temps. »

De 1907 à 1911, Einstein planche sur la cinématique de la gravitation, et c'est en 1912 qu'il aborde deux points bien plus complexes : la dynamique de la gravitation et la covariance (conservation des lois d'un référentiel à l'autre).

Le 26 mars 1912, il écrit à son ami Besso : « Ces temps-ci j'ai travaillé avec acharnement sur le problème de gravitation ......Chaque pas supplémentaire présente des difficultés diaboliques. »

A Ehrenfest il écrit : « Je réfléchis actuellement sur le cas dynamique de la gravitation... »

Le 20 mai il télégraphie à Zangger : « Mes recherches sur la gravitation m'ont conduit à quelques résultats satisfaisants, bien que jusqu'ici je n'ai pu dépasser le cas statique » puis « Le développement de la théorie de la gravitation se heurte à d'importants obstacles ».

Après avoir contourné les obstacles, le lendemain de nouveaux problèmes apparaissent et demande de l'aide à son ami Grossmann : « il faut que tu m'aides, sinon je vais devenir fou ».

Il confirme cette demande à la conférence de Kyoto en 1922 : « Je lui ai demandé si on pouvait résoudre mon problème par la théorie de Riemann. »

Grossmann lui confirme que la géométrie courbe de Riemann peut s'appliquer à un référentiel en rotation relativement à un référentiel d'inertie, contrairement à la géométrie euclidienne. Einstein peut ainsi, grâce à Grossmann, formaliser ses idées dans un cadre mathématique rigoureux à l'aide de tenseurs de courbure de « Riemann-Christoffel ». Il utilise également l'équation du champ gravitationnel de Newton-Poisson pour retrouver la théorie de Newton dans le cas du champ statique engendré par des masses au repos.

Pour la première fois la gravitation est décrite en terme purement géométrique. Einstein confit qu'il n'a jamais travaillé aussi dur et qu'il a acquit un profond respect pour les mathématiques et notamment du calcul tensoriel qu'il a du apprendre.

Hermann Minkowski, ancien professeur au Polytechnicum de Zurich, a une idée de génie en 1907 avec l'aide des des mathématiciens Hilbert et Poincaré. Il comprend mieux la relativité restreinte si l'espace a une dimension supplémentaire, et pose le cadre formel du concept d'espace-temps à 4 dimensions à l'aide de la géométrie de Riemann mais non courbe. Einstein finit par réaliser que cette idée est une aubaine pour sa future théorie et fait de « l'espace-temps » de Minkowski le cadre mathématique de la relativité générale qu'il a déjà énoncé. Il bute cependant sur l'expression de son équation permettant de déduire la courbure locale de l'espace-temps (traduisant le champ gravitationnel) en fonction de la répartition des masses et de l'énergie.

Peu de physiciens sont capables de comprendre la nouvelle théorie naissante. Lorentz est l'un d'eux et fin 1913, il envoie à Zurich son jeune assistant Adriaan Fokker travailler avec Einstein sur le tenseur que Ricci a inventé. Einstein rend ainsi la théorie de Lorentz invariante et trouve l'expression du tenseur Tik d'énergie-impulsion du champ gravitationnel.

En 1914, il a 35 ans et se sépare de son épouse et accepte une nomination à l'Académie des sciences de Prusse à Berlin. Déjà célèbre il publie son premier article de vulgarisation dans un journal allemand en concluant : « La théorie de la relativité restreinte est-elle entièrement achevée ou n'est-elle qu'une étape vers un développement plus général ? » Il reste cependant positif tout en reconnaissant les divergences des physiciens, qui selon lui, manquent d'intérêt pour ses recherches.

Début 1915, Levi-Civita, le brillant élève de de Gregorio Ricci-Curbastro, créateur des tenseurs, corrige quelques erreurs techniques dans ses formules avec tenseurs. Jusqu'en octobre 1915, il ne se passe pas grand chose sinon un contact en juillet avec le mathématicien Hilbert en Allemagne à Gôttingen où il donne des conférences sur la relativité générale.

Le 4 novembre 1015, Einstein propose en session plénière de l’Académie des sciences de Prusse une version de la relativité générale, et une course contre la montre a lieu avec Hilbert. Le 14 novembre, Einstein reçoit un courrier tardif de Hilbert lui indiquant que « la gravitation et l'électrodynamique ne sont plus des problèmes distincts » mais Einstein avait déjà avancé sur le sujet et lui répond que ses équations correspondent aux siennes déjà publiées.

A quelques jours d'intervalle, ils vont tous deux aboutir, mais par des chemins différents, à la même forme finale des équations de la relativité générale, Hilbert publiant cinq jours avant Einstein les équations correctes du champ gravitationnel. Concernant la polémique sur la paternité des équations, il faut indiquer qu'Hilbert avait une autre ambition qui était de découvrir l'équation d'un tout incluant l'Univers et l'atome, et une note en marge de ses manuscrits indique aussi qu'il s'était référé au travail d'Einstein.

Le 18 novembre 1915, Einstein publie la relation simplifiée de la relativité générale : 

Rik = -k Tik, déduite de ces équations de champ, ainsi que le calcul corrigé de la déviation de la lumière au passage près du Soleil. Le tenseur de Ricci est complet et satisfait à toutes les conditions : covariance (conservation des lois d'un référentiel à l'autre) et indépendance du système de coordonnées qu'on peut choisir librement.

Équation de la relativité générale

Mais c'est le 25 novembre 1915 qu'Einstein publie l'explication de la périhélie de Mercure (orbite de la planète se déplaçant de 43 degrés par an sans explication théorique), en suspend depuis Le Verrier en 1859, ainsi que son équation de champ de gravitation définitive décrivant l'espace-temps comme un espace géométrique courbe :

Rik - ½ Gik R = - 8 ﬨ G Tik 

Rik est le tenseur métrique d'Einstein construit avec le tenseur de courbure de l'espace-temps de Riemann-Christoffel donnant le tenseur de courbure de Ricci après contraction.

Tik est le tenseur énergie-impulsion de la matière ou du champ électromagnétique dans le vide représentant le contenu matériel.

G est la gravitation de Newton

gik est la métrique

i et k = 0 pour le temps et 1, 2 ou 3 pour les 3 dimensions d'espace
R est la constance cosmologique qui peut être nulle, ce qui donne la première formule simplifiée :

Rik = -k Tik

En mars 1916 Einstein achève un article expliquant la relativité générale en termes plus aisément compréhensibles : « la matière dicte à l'espace temps comment il doit se courber et l'espace temps dicte à la matière comment elle doit se mouvoir. »

L’action d’un champ gravitationnel (constant) ne peut être distinguée d’une accélération constante : la force de gravitation est donc équivalente a un mouvement accéléré. Ces considérations suffisent a Einstein pour affirmer l’idée que la gravitation est une manifestation de la courbure de l’espace-temps.

La complexité des équations d'Einstein est extrême car les tenseurs sont des tableaux à plusieurs composantes contenant toute l'information sur la géométrie et sur la matière.

Pour évaluer l'effet gravitationnel d'un corps, il faut combiner son énergie au repos E=mc² avec un vecteur d'impulsion décrivant son mouvement, et qui crée de la masse donc de la gravitation. De cette manière :

Les sources de gravitation sont complètement décrites par le « tenseur impulsion-énergie » T (matière), membre de droite qui contient la masse, l'énergie et la quantité de mouvement attribuée à une distribution de matière ou de champ électromagnétique.

et

Les déformations géométriques de l'espace-temps sont représentées par un « tenseur de courbure » R (géométrie), membre de gauche qui contient donc la courbure de l'espace-temps avec le tenseur métrique à 4 dimensions d'Einstein. En chaque point de l'espace-temps il faut connaître vingt nombres pour décrire complètement la courbure.

A partir de là, il n'existe qu'une seule entité appelée aujourd'hui la « matière-espace-temps » qui permet de décrire la réalité quelque soit le référentiel et de conserver les variables grâce à la covariance. La progression d'Einstein dans la découverte finale de son équation est due à sa compréhension de la physique, sans laquelle tout serait resté théorique, et aux nombreux contacts qu'il a eu avec les mathématiciens de l'époque qui lui ont apporté leur connaissance et découverte sur lesquelles il s'est appuyé.

Il y a eu Lorentz, Vicci, Grossmann, Hilbert, Poincaré, Riemann, Minkowski. Mais sans contestation Einstein a été l'élément moteur. Poincaré, mathématicien de génie, lui apporte un grand nombre d'idées dont il se sert et fait des publications théoriques mais sans faire de synthèse structurée et surtout sans proposer une théorie physique, comme Einstein qui notamment élimine l'éther et applique le concept d'espace-temps. Il réussit bien plus grâce à sa compréhension des phénomènes physiques, qu'à ses compétences en mathématiques qu'il acquiert cependant progressivement, tout en avouant qu'il n'a jamais autant travaillé.

La métrique de l'espace-temps est donc un objet dynamique fonction de la distribution et du mouvement de la matière-énergie. Le champ de gravitation d'Einstein, déterminé par des équations différentielles, prend la place de la force d'attraction Universelle par gravitation de Newton :
 F = G m₁ m₂  /r² qui représente l'attraction mutuelle de deux masses m₁ et  m₂ distants de r.

La force de gravitation devient donc le champs de gravitation.

Déviation des rayons lumineux

Einstein calcule trois effets particuliers de la gravitation mesurables dans le système solaire, qui deviennent des prédictions concrètes qui seront vérifiées par la suite et qui feront la réussite d'Einstein :

- la déviation des rayons lumineux frôlant le Soleil,

- les anomalies du mouvement de Mercure

- le ralentissement des fréquences électromagnétiques dans un champs de gravitation.

Début 1933, peu après l'arrivée au pouvoir d'Hitler et en apprenant que sa maison a été pillée, Einstein émigre aux États-Unis après un court séjour sur la côte belge. Et jusque la fin de sa vie, il essaie d'unifier en une "théorie du Tout"  la relativité générale (vision moderne de la gravitation) qui s'applique à l'Univers, avec la mécanique quantique des particules, mais sans aucun résultat.

Le principe cosmologique

Ce que Einstein apporte avec sa relativité, c'est qu'à l'échelle de l'Univers l'espace et le temps sont unis par une relation qui dépend de la position de l'observateur dans le cosmos. Suivant qu'il est plus ou moins éloigné, il voit un objet entre distance et l'âge.

Dans une structure métrique exprimée par la forme de la relation entre la distance et l'âge d'un objet et céleste, les équations mathématiques d'Einstein, ont permis de décrire l'évolution de l'ensemble de l'Univers sous forme de modèles cosmologique, et ceci malgré le contenu infini de l'Univers. Einstein comprend, grâce à Copernic, que le Soleil et la voie lactée n'étant pas des endroits singuliers, ce schéma est reproduit à des milliards d'exemplaires dans l'Univers.

Il a une idée de génie en postulant le principe cosmologique : l'Univers est homogène (semblable à lui-même en tout lieu) et isotrope (semblable dans toutes les directions).

L'Univers ne dépend plus que de son contenu en matière et énergie, donc en densité (masse par unité de volume), dont l'évolution en fonction du temps est donnée par 10 équations résultant de la simplification des tenseurs. Mais enchevêtrées les une dans les autres avec une complexité extrême, elles seraient difficilement solvables sans le principe cosmologique qui permet de les réduire à une seule équation pour chaque cas spécifique étudié.

Il n'existait aucune preuve par l'observation de l'uniformité de l'Univers jusqu’à ce qu'en 1964 Penzas et Wilson découvre par hasard un fond diffus radio-électrique constant, le rayonnement fossile, lumière de 380 000 ans après le Big Bang, baignant tout l'Univers et observé par les satellites COBE, WMAP et Planck. Ceux-ci ont montrés, avec de plus en plus de précision, que la température de ce rayonnement est très uniforme dans tout l'Univers (- 270,3 degrés Celsius à 0,001 degrés près).

Ce qui confirme l'intuition d'Einstein dont les équations permettent d'élaborer différents modèles mathématiques de la totalité des Univers scientifiques possibles et conformes aux lois de la physique cosmologique. Il est ainsi possible de reconstituer leurs passé et de prédire leur avenir. Et ses équations prédisent un modèle d'Univers dynamique, en expansion ou en effondrement.

Mais comme Einstein, fervent défenseur d'un Univers statique ayant toujours existé, ne peut supporter l'idée d'un Univers dynamique, il rajoute en 1917, une constante cosmologique pour rendre sa théorie cohérente avec l'idée qu'il a de l'Univers. Peut-être que pour la première fois, Einstein n'a aucune explication physique à  donner, autre que celle de rendre l'Univers statique, conformément à la croyance commune depuis deux millénaires. Mais quand l'astronome américain Edwin Hubble (1989-1953) découvre en 1929 par l'observation que l'Univers est bien en expansion, et qu'une galaxie s'éloigne d'autant plus vite d'une autre qu'elle en est plus éloignée, Einstein supprime sa constante en déclarant avoir fait "la plus grande erreur de sa vie". 

Mais aujourd'hui, cette fameuse constante cosmologique renaît de ses cendres avec l'explication physique (hypothèse la plus probable compte tenu des observations du satellite WMAP, mais à ce jour hypothèse quand même) selon laquelle une "énergie noire" ou "énergie sombre" correspondrait à cette constante, mais bien sûr de valeur différente, en constituant environ 68% de l'Univers ! Sa répartition est uniforme dans l'espace et le temps et agit en force répulsive, surmontant la force gravitationnelle, et tendant à accélérer l'expansion de l'Univers découverte par Edwin Hubble.

Loin d'être la plus grande erreur de la vie d'Einstein, sa "Constante" met en évidence le fait que beaucoup reste à faire pour que l'on connaisse réellement notre Univers. On peut même dire qu'aujourd'hui son équation de l'Univers ne concerne que 5% de celui-ci ! Ce qui correspond à la seule matière que nous connaissons, celle qui est visible : les galaxies et les étoiles. Il reste donc 27% de matière qu'on appelle noire" car non observable donc non sensible à la force électromagnétique et incapable d'émettre de la lumière. Cette matière "noire" n'est détectable que par son effet gravitationnel sur la matière visible.

Cette gravitation supplémentaire est nécessaire pour expliquer la non désintégration des galaxies dont la quantité de matière  les constituant est insuffisante pour expliquer leur cohésion. Ce qui est remarquable est que l'équation de la relativité générale d'Einstein soit à l'origine de tous ces questionnements et du plus grand challenge de tous les temps en astronomie (hors mis celui de la recherche de "l'équation du Tout" sur laquelle Einstein a d'ailleurs travaillé le reste de sa vie) : valider les hypothèses de la matière noire et de l'énergie sombre.

Quelques solutions aux équations d'Einstein

Les équations d'Einstein mettent en correspondance par une égalité la matière (qui crée la courbure) et la courbure (qui elle même déplace la matière) mais les composantes des tenseurs s'enchevêtrent de façon si complexe qu'il n'est en général pas possible d'en trouver une solution exactes, les équations engendrent même une infinité d'Univers théoriques parfois loin de la réalité. Il faut donc simplifier les sources de gravitation pour en tirer quelque chose de compréhensible.

Schwarzschild, en 1916, quelques mois après la publication de l'article d'Einstein, est le premier à proposer une solution à l'équation d'Einstein. Il lui adresse une lettre du front russe qui lui donne la solution exacte de sa théorie pour une masse ponctuelle avec le rayon minimal en-dessous duquel un astre s'effondre sur lui-même. Pour y arriver il la simplifie pour ce cas particuliers, car sans cela l'équation est insoluble car trop complexe. Il s'arrange pour ne garder dans les équations que l'essentiel pour résoudre le problème de la gravitation autour des étoiles, il isole le profil géométrique de l'espace-temps, au voisinage de l'étoile, qui se courbe en un creux parabolique, ailleurs étant un vide avec une géométrie plate.

Il est ainsi à l'origine de la découverte des trous noirs caractérisés notamment par le « rayon de Schwarzschild ».

La solution de Schwarzschild est la base d'un grand nombre d'applications de la relativité générale :

Localisation par GPS

Le GPS de notre smartphone nécessite impérativement la prise en compte du décalage prédit par Einstein. Notre localisation sur le globe via notre smartphone est tributaire de la connaissance de la position des satellites GPS, mais aussi de l’instant d’émission du signal vers la Terre (qui sert à déterminer la distance entre le smartphone et le satellite). Le satellite se déplaçant à 14 000 km/h environ, le temps indiqué par l’horloge atomique embarquée est nécessairement décalé par rapport aux horloges au sol, et doit donc être corrigé. Du fait de la désynchronisation cinématique des horloges, celles à bord des satellites GPS retardent par rapport aux horloges au sol. Et ce n’est pas un effet apparent, car si les horloges qui ont voyagé étaient ramenées au sol et comparées à leur jumelles restées au sol, le décalage serait bien présent.

Ondes gravitationnelles

L'équation permet d'évaluer les transferts d'énergie et d'impulsions entre matière et champ électromagnétique, ce qui permet de faire des bilans énergétiques quand le système rayonne. Tout comme des particules chargées en accélération émettent un champ électromagnétique, un flux émis par une masse en accélération est la puissance gravitationnelle rayonnée par la surface du corps et dont les ondes se propagent à la vitesse de la lumière. C'est ni plus ni moins que la découverte des ondes gravitationnelles qui sont aujourd'hui un moyen d’exploration et d’examen de l’Univers complètement nouveau.

Le rayonnement gravitationnel

Friedmann, en 1922, montre que l'équation de la relativité générale permet d'en déduire que l'Univers évolue dans le temps en contraction ou en expansion. En 1917 Einstein, persuadé que l'Univers est stationnaire, avait rajouté sa constante cosmologique arbitraire.

Mais comme sa modification permet une contraction ou une expansion, Georges Lemaitre, fort de la découverte expérimentale en 1929 par l'astronome américain Edwin Hubble de l'expansion de l'Univers, publie un article en 1931 confirmant son hypothèse de 1927 rejeté par Einstein, concernant l'expansion avec un Univers plus dense à son origine. Einstein rejette toute hypothèse de la création de l'Univers et d'expansion jusqu'en 1931, où il doit reconnaître son erreur.

La Relativité d'Einstein triomphe depuis un siècle 

Il aura fallu des dizaines d'années aux physiciens pour explorer les équations des théories d'Einstein.

Certaines simplifications ont données des représentations remarquables :

→ la relativité générale permet de faire de la cosmologie, d'étudier la forme et l'évolution de l'Univers dans son ensemble, comme le Big Bang par l'Abbé Lemaître.

→ calcul du champ gravitationnel engendré par un corps isolé dans le vide (déformation de l'espace-temps autour du corps),

→ environnement d'une étoile (par ex le système solaire) ou d'un corps noir,

→ calcul du champ gravitationnel moyen de l'Univers entier (sa géométrie),

→ le GPS mis en place depuis 1992 par les USA est constitué de 24 satellites en orbite à 20 000 km d'altitudes avec chacun une horloge atomique. Les équations d'Einstein permettent de corriger les données des horloges et d'arriver à une précision de 2,5 m au lieu de 12 km,

→ récemment l'existence d'ondes gravitationnelles, prédite par Einstein, engendrées par le mouvement des sources de gravitation se propageant dans l'espace temps a été vérifiée grâce aux interféromètres Ligo et Virgo. Elles sont aujourd'hui un moyen d’exploration et d’examen de l’Univers complètement nouveau.

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Joe Kal

Fin de la 1re partie de Thalès à Einstein

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